Как найти площадь фигуры: формулы и задачи
. Объясняют учителя математики
С математическим понятием площади человек сталкивается в разных областях: в географии — при описании размеров стран, в строительстве — при расчете количества плитки или обоев для ремонта, в экономике — при определении стоимости квадратного метра жилья. В математике площадь вычисляется по формулам, зависящим от формы фигур. РБК Life вместе с экспертами объясняет основные способы нахождения площади.
Что такое площадь
Площадь — это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной или кривой линией [1]. Единицы измерения площади — величины в квадрате, например см² или м². Сто квадратных метров образуют один ар, а десять тысяч — один гектар [2].
Площадь фигуры — это количество единичных квадратных элементов, необходимых, чтобы закрыть фигуру целиком. Единица измерения площади, в отличие от периметра, не линейная, а квадратная — квадрат со стороной, равной единичному отрезку. Если периметр — это «сколько нужно плинтуса», то площадь — это «сколько нужно паркетных досок, чтобы покрыть весь пол целиком».
Существует две версии происхождения слова: от древнеславянского ploskědь — «плоский» или от греческого plateiades — «широкий» [3].
Впервые площади начали использовать как единицу измерения в Древнем Вавилоне. С их помощью определяли, сколько земли принадлежит разным группам населения, и вычисляли сумму налогообложения. В III веке до н. э. греческий математик Архимед открыл площадь и периметр круга [4]. В I веке до н. э. китайские ученые уже умели вычислять площадь множества двумерных фигур [5].
Понятие площади также использовали физики и астрономы. Например, в XVII веке немецкий астроном Иоганн Кеплер применял формулы для расчета площади овала или круга при наблюдении за орбитами планет. А английский физик Исаак Ньютон использовал концепцию площади при описании дифференциального исчисления.
В начале восьмого класса школьники начинают изучение площади фигур. Они узнают о площади треугольника, трапеции, параллелограмма. Мне кажется, это хороший подход — изучать все площади сразу, потому что формулы основаны на одном принципе. Но тем не менее школьники запоминают тему не очень легко и путают формулы для разных фигур.
Как найти площадь фигуры
Как найти площадь квадрата
Для вычисления площади квадрата используем формулу S = a × a или S = a², где S — площадь квадрата, а — длина стороны квадрата. Например, если сторона квадрата равна 10 см, то S = 10 × 10 = 10² = 100 см².
Площадь квадрата
Как найти площадь прямоугольника
Формула площади прямоугольника: S = a × b, где S — площадь, a — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника. Например, если длина прямоугольника равна 5 см, а ширина — 10 см, то S = 5 × 10 = 50 см².
Площадь прямоугольника
Как найти площадь параллелограмма
Формула площади параллелограмма: S = a × h, где S — площадь, a — длина основания, h — длина высоты параллелограмма. Например, a = 10 см, h = 7 см, тогда S = 10 × 7 = 70 см².
Площадь параллелограмма
Как найти площадь трапеции
Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = 1/2 × (a + b) × h, где S — площадь, a и b — длина оснований, h — длина высоты трапеции. Например, основания трапеции равны 6 и 12 см соответственно, а длина высоты — 4 см, тогда S = 1/2 × (6 + 12) × 4 = 1/2 × 18 × 4 = 36 см².
Площадь трапеции
Как найти площадь треугольника
Для всех типов треугольников (прямоугольных, разносторонних, равносторонних и равнобедренных) работают следующие формулы.
Способ 1: если известны основание a и высота h, которая опущена на это основание, то площадь треугольника вычисляется по формуле: S = (a × h) / 2. Например, a = 8 см, h = 6 см, то S = (8 × 6) / 2 = 24 см².
Из формулы параллелограмма S = a × h мы выводим формулу площади треугольника. Если провести диагональ параллелограмма, можно заметить, что получается два равных треугольника. Значит, подставим в эту формулу 1/2 и получим искомую площадь: S = a × h / 2.
Площадь треугольника
Способ 2: если известны две стороны a и b и угол между ними y, то площадь треугольника находится по формуле: S = 0,5 × a × b × sin у. Например, а = 10 см, b = 6 см, у = 30º, то S = 0,5 × 10 × 6 × sin 30º = 0,5 × 60 × 1/2 = 15 см².
Площадь треугольника через угол между сторонами
Способ 3: если известны все стороны треугольника a, b, c, то используют способ поиска площади через описанную окружность: S = (a × b × c) / (4 × R), где R — это радиус описанной окружности. Например, а = 12 см, b = 8 см, с = 6 см, R = 10 см, то S = (12 × 8 × 6) / (4 × 10) = 576 / 40 = 14,4 см².
Площадь треугольника через описанную окружность
Способ 4: если известны все стороны треугольника a, b, c, то также подойдет способ поиска площади через вписанную окружность: S = r × (a × b × c) / 2, где r — это радиус вписанной окружности. Например, а = 12 см, b = 8 см, с = 6 см, r = 5 см, то S = 5 × (12 × 8 × 6) / 2 = 5 × 576 / 2 = 1440 см².
Площадь треугольника через вписанную окружность
Способ 5: если известны все стороны треугольника a, b, c, то решить задачу можно по формуле Герона: S = √ (p × (p — a) × (p — b) × (p — c) ). В этом уравнении a, b и c — длины сторон, p — полупериметр треугольника, который вычисляют по формуле (a + b + c) / 2. Например, а = 12 см, b = 8 см, с = 6 см, p = (12 + 8 + 6) / 2 = 13 см. Отсюда S = √ (13 × (13 — 12) × (13 — 8) × (13 — 6) ) = √ (13 × 1 × 5 × 7) = √455 ≈21,3 см².
Площадь треугольника через формулу Герона
Способ 6: если известна сторона треугольника, а и два прилежащих к ней угла у и х, то S = a² × (sin y × sin x) / 2 / sin (y + x). Например, а = 10 см, угол у = 30º, угол х = 45º, то S = 10² × (sin 30º × sin 45º) / 2 / sin (30 + 45) = 100 × (0,5 × 0,7) / 2 / sin 75º = 100 × 0,35 / 2 / 0,96 ≈18,2 см².
Как найти площадь круга
Площадь круга можно найти по формуле: S = π × r², где S — это площадь, r — радиус круга, π — математическая постоянная, приблизительно равна 3,14. Например, радиус круга А равен 6 см., π известно и равно 3,14. Площадь круга А будет 113,04 (3,14 × 6² = 113,04).
Чтобы найти площадь круга, нужно узнать его радиус
Как найти площадь сложной фигуры
Чтобы найти площадь сложной фигуры, нужно следовать алгоритму:
- Разделить сложную фигуру на простые.
- Найти площади всех простых фигур.
- Сложить площади всех простых фигур.
Например, нам нужно найти площадь фигуры на рисунке:
Площадь сложной фигуры
- Мы знаем, что a = 10 см, b = 12 см, один из углов равен 30º. Мы можем разделить фигуру на две: равнобедренный треугольник и квадрат.
- Вычисляем площадь треугольника по формуле S = 0,5 × a × b × sin у = 0,5 × 12 × 12 × sin 30º = 0,5 × 12 × 12 × 0,5 = 36 см². Вычисляем площадь квадрата по формуле S = a² = 10² = 100 см².
- Складываем площади простых фигур и получаем площадь сложной фигуры: S = 36 см² + 100 см² = 136 см².
Задачи на площадь фигуры
- У Тани есть квадратный участок земли со стороной 12 м. Какова его площадь?
- Длина учебного стола 120 см, а ширина — 60 см. Чему равна площадь его поверхности?
- Основание параллелограмма равно 15 см, а высота, проведенная к этому основанию, — 8 см. Найдите его площадь.
- В бассейне есть неглубокая часть в форме трапеции с основаниями 5 м и 9 м, а глубина (высота трапеции) составляет 3 м. Найдите площадь дна этой части бассейна.
- У крыши дома треугольный фронтон с основанием 6 м и высотой 4 м. Какова площадь фронтона?
Решение
- Формула площади квадрата S = a², подставляем значения: S = 12² = 144 см². Ответ: 144 см².
- Учебный стол имеет форму прямоугольника, поэтому его площадь вычисляем по формуле S = a × b = 120 × 60 = 7200 см² = 0,72 м². Ответ: 0,72 м².
- Формула площади параллелограмма: S = a × h, подставляем значения: S = 15 × 8 = 120 см². Ответ: 120 см².
- Площадь трапеции вычисляем по формуле S = 1/2 × (a + b) × h = 1/2 × (5 + 9) × 3 = 1/2 × 14 × 3 = 21 м². Ответ: 21 м².
- Так как нам известны основание и высота сторон треугольного фронтона, мы можем использовать формулу S = (a × h) / 2. Тогда S = (6 × 4) / 2 = 12 м². Ответ: 12 м².
Комментарии экспертов
Чтобы найти площадь фигуры на клетчатой бумаге, нужно:
- подсчитать количество полных клеток внутри фигуры. Это даст вам базовое значение площади в квадратных единицах (например, см²);
- если фигура не полностью заполнена клетками, нужно подсчитать количество неполных клеток и разделить их на 2. Это позволит учесть половину площади каждой неполной клетки;
- сложить полученные значения. Итоговая сумма будет представлять собой общую площадь фигуры в заданных единицах измерения.
Этот метод работает для большинства стандартных геометрических фигур, таких как прямоугольники, треугольники и трапеции, которые могут быть представлены на клетчатой бумаге. Для более сложных фигур может потребоваться разбиение на более простые составляющие или использование дополнительных методов расчета площади.
Лучше всего начинать изучение площадей с понятного прямоугольника, затем демонстрировать, как его можно превратить в параллелограмм, а затем — в треугольник, разделяя параллелограмм пополам. Такой метод позволяет увидеть логику формул, а не просто запоминать их механически. Формулы площади прямоугольника и квадрата могут пригодиться чаще остальных. Формула площади круга может запоминаться хуже, так как изучается отдельно от остальных фигур. Возможно, поэтому она кажется детям менее понятной.
