Теорема Пифагора и обратная ей
. Как звучит теорема Пифагора, формула, доказательство и примеры задач
Теорема Пифагора
Существует более 400 доказательств теоремы Пифагора, включая работы арабского математика Табита ибн Курры, итальянца Леонардо да Винчи и даже 20-го президента США Джеймса Гарфилда. Вместе с математиками РБК Life разобрался, как выглядит формула теоремы и как ее применяют в жизни.
Как звучит теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон (катетов).
Гипотенуза — это сторона, которая находится напротив прямого угла треугольника. Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.
Существует шутливое стихотворение для запоминания теоремы: «Пифагоровы штаны во все стороны равны. И никак не доказать… Зашивать и зашивать!»
Кто придумал теорему Пифагора
Теорема Пифагора, хотя и носит имя древнегреческого философа и математика Пифагора (ок. 580–500 годов до н. э.), на самом деле имеет более древние корни. Еще в вавилонские времена, около 1700–1500 годов до н. э., существовали похожие вычисления [1].
Точная история создания теоремы неизвестна. По легенде, Пифагор открыл теорему в дворцовом зале, изучая каменные квадратные плитки. Он заметил, что площадь квадратов, построенных на катетах треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Наблюдение привело Пифагора к выводу, что такая зависимость справедлива для прямоугольных треугольников любых размеров. Позже он разработал и записал доказательство этой теоремы [2].
Бюст Пифагора в Вилла Боргезе
Применение теоремы Пифагора
Репетитор по математике Элина Кусинбаева выделила семь областей, в которых применяется теорема Пифагора:
- Дизайн интерьеров. Для расчета длины мебели или расстояния между точками в комнате.
- Геодезия и картография. Геодезисты рассчитывают расстояния между точками на местности, особенно когда нельзя измерить напрямую (например, через овраг или реку).
- Навигация и GPS. Навигаторы используют похожие принципы для определения кратчайших расстояний между двумя точками.
- Астрономия. Астрономы применяют теорему для вычисления расстояний между звездами или планетами, используя их координаты. Например, если звезда находится на определенной высоте и расстоянии от наблюдателя, можно рассчитать расстояние до нее.
- Спорт и физическая подготовка. В футболе, баскетболе, теннисе — расчет оптимальных траекторий броска или передачи.
- Архитектура и строительство. Для расчета диагоналей (понять, ровно ли построен угол здания), при выравнивании фундамента (проверить, что строительная конструкция имеет правильные пропорции).
- Инженерия. Инженеры используют теорему для проектирования мостов, зданий, эстакад.
Теорема Пифагора используется не только на уроках математики, но и в самых разных областях, особенно в строительстве и инженерии. Например, при расчете строительных материалов, проектировании архитектурных объектов или прокладке проводов всегда необходимо учитывать прямые углы. Теорема Пифагора позволяет точно вычислить длину гипотенузы, а значит, помогает определить нужные параметры для создания стабильных и безопасных конструкций. Встроенные функции в инженерных приложениях автоматически применяют ее для подсчета расстояний, когда строится прямой угол и соединяются его вершины.
Формула теоремы Пифагора
Формула теоремы Пифагора математически выражается так: a² + b² = c², где a, b — катеты, с — гипотенуза. Например, если катеты треугольника имеют длины 3 см и 4 см, то гипотенуза будет равна 5 см, так как 3² + 4² = 9 + 16 = 25 см, то есть 5² см. Формула позволяет находить любую из сторон треугольника, если известны две другие.
Из основной формулы можно вывести дополнительные:
- a = √c² − b²
- b = √c² − a²
- c = √a² + b²
Доказательство теоремы Пифагора
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С равен 90º. Стороны АС и ВС — это катеты, АВ — гипотенуза. Нужно доказать, что АС² + ВС² = АВ².
Доказательство:
- Из вершины С опустим перпендикуляр СН на гипотенузу АВ. У нас получится два меньших треугольника.
- Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам: угол ACB равен углу CHA и оба они равны 90º. Угол A — общий.
- Также подобны прямоугольные треугольники СВН и АВС, у которых угол АСВ равен углу СНВ, и оба они равны 90º. Угол В у них общий.
- Вводим новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
- Из подобия треугольников получаем уравнения: a/c = HB/a, b/c = AH/b.
- Из этого следует, что a² = c*HB, b² = c*AH.
- Сложим полученные равенства: a² + b² = c*HB + c*AH; a² + b² = c* (HB + AH); a² + b² = c*AB; a² + b² = c*c; a² + b² = c²
Теорема доказана.
Чтобы запомнить теорему, используйте визуализацию. Нарисуйте прямоугольный треугольник и постройте квадраты на его сторонах. Представьте, что площади двух меньших квадратов «складываются», чтобы получить площадь большего квадрата. Также можно придумать мнемонические фразы. Например: «Квадраты катетов всегда вместе делают гипотенузу сильнее. Катет и катет — гипотенуза в ответе».
Иллюстрация теоремы Пифагора
Как найти катет
Если известна гипотенуза и один катет, то можно выразить второй катет через гипотенузу и известный катет. Для нахождения катета a, если известны гипотенуза c и катет b, используется формула a = √c² − b². Для нахождения катета b, если известны гипотенуза c и катет a, уравнение выглядит так: b = √c² − a².
Пример: известно, что гипотенуза с равна 10 см, катет а равен 6 см. Чтобы найти катет b, используем формулу b = √c² − a² = √10² — 6² = √100 — 36 = √64 = 8 см.
Как найти гипотенузу
Если известны оба катета (a и b), то гипотенузу с можно найти по формуле: c = √a² + b².
Пример: в прямоугольном треугольнике известны катеты, a = 3 см и b = 4 см. Нужно найти гипотенузу с. Берем формулу c = √a² + b² = c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см.
Обратная теорема Пифагора
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.
Обратная теорема Пифагора основана на идее, что в прямоугольном треугольнике всегда соблюдается соотношение между катетами и гипотенузой. Ее используют, если известны три стороны треугольника и нужно проверить, является ли он прямоугольным.
- Измеряем длины всех трех сторон треугольника.
- Проверяем, выполняется ли равенство c² = a² + b².
- Если равенство выполняется, то треугольник прямоугольный, а если не выполняется — треугольник не прямоугольный.
Доказательство обратной теоремы Пифагора:
- Предположим, что у нас есть треугольник ABC, где a и b — катеты, а с — гипотенуза. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполняется равенство: c² = a² + b². Наша цель — доказать, что угол ABC равен 90º.
- Построим вспомогательный прямоугольный треугольник. Проводим высоту из вершины C на гипотенузу AB. Обозначим точку пересечения высоты с гипотенузой как D.
- Полученные два новых треугольника ACD и BCD будут прямоугольными, так как высота опущена на гипотенузу. Эти треугольники будут подобны исходному треугольнику ABC по признаку прямого угла и общим углам.
- Из подобия треугольников можно получить пропорции, связывающие их стороны. Однако для завершения доказательства важным будет следующее соображение. Если треугольник не прямоугольный, то сумма квадратов двух сторон не будет равна квадрату третьей стороны. Это основано на том, что только для прямоугольного треугольника выполняется справедливость теоремы Пифагора.
- Таким образом, если для треугольника выполняется равенство c² = a² + b², то этот треугольник обязательно прямоугольный и угол между катетами составляет 90º.
Задачи на теорему Пифагора
- Гипотенуза прямоугольного треугольника составляет 16 см, а одна из сторон треугольника равна 8 см. Найдите третью сторону.
- Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение будет у гипотенузы?
- Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 10, 12 и 16 см?
Решение:
- Для решения используем формулу нахождения катета прямоугольного треугольника: a = √c² − b² = √16² − 8² = √256 — 64 = √192 = 13,856 см.
- Пусть катеты a = 6 см и b = 8 см. По теореме Пифагора c = √a² + b² = √6² + 8² = √36 + 64 = √100 = 10 см.
- Чтобы выяснить это, нужно проверить, выполняется ли равенство c² = a² + b². 16² = 12² + 10². 256 = 144 + 100. 256 не равно 244. Равенство не выполняется, следовательно, треугольник не прямоугольный.
