Как найти периметр фигуры: формулы и задачи
. Объясняют учителя математики
Периметр — одна из базовых геометрических величин. Знание формул для ее расчета помогает не только в учебе, но и в быту — от строительства до ремонта. РБК Life разобрался вместе с учителями математики, как вычислять периметр для разных фигур и решать задачи по теме.
Что такое периметр
Периметр — это сумма длины всех сторон плоской геометрической фигуры [1].
В XVIII веке слово пришло в русскую речь из французского языка. В его основе греческое слово perimetron — «окружность», которое состоит из двух частей: peri — «вокруг, около» и metron — «мера, измерение» [2].
Изучение периметра начали еще в древности, около 3000 лет до н.э. Например, в Древнем Египте и Месопотамии люди измеряли земельные участки для строительства зданий и сельскохозяйственных нужд [3].
В III веке до н.э. древнегреческий ученый Архимед применил метод аппроксимации для вычисления длины окружности. Его суть — замена одних объектов другими, более простыми, для измерения величины заданной фигуры. Благодаря этим исследованиям появился прообраз современного понятия периметра [4].
Как найти периметр фигуры
Периметр обозначают латинской буквой Р. В зависимости от фигуры, его можно найти разными способами. Запоминать формулы нет смысла, основной секрет — знать свойства конкретной фигуры.
Как найти периметр треугольника
Для вычисления периметра разностороннего треугольника работает формула: Р = а + b + c, где а, b, c — длины сторон треугольника. Например, если а = 5 см, b = 7 см, с = 9 см, то Р = 5 + 7 + 9 = 21 см.
Периметр разностороннего треугольника
Равнобедренный треугольник — это треугольник, две стороны которого имеют одинаковую длину. Формула для поиска его периметра: Р = 2а + b. Например, если равные стороны — по 10 см, а сторона b = 6 см, то Р = 2 × 10 + 6 = 26 см.
Периметр равнобедренного треугольника
Равносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого равны. Чтобы найти его периметр, нужно использовать формулу: Р = 3а. Например, если стороны такого треугольника равны 5 см, то Р = 3 × 5 = 15 см.
Периметр равностороннего треугольника
Формулу периметра треугольника ученики знают еще с начальной школы, поэтому в седьмом классе, когда проходят тему «Треугольники», сложностей обычно не возникает. Однако иногда ученики путают понятия площади и периметра. Например, когда нужно найти периметр, они могут случайно вычислить площадь.
Как найти периметр квадрата
Периметр квадрата равен сумме всех его сторон: Р = а + b + c + d. Формулу можно сократить, так как стороны квадрата имеют одинаковую длину: Р = 4а. Например, если сторона квадрата равна 8 см, тогда Р = 4 × 8 = 32 см.
Периметр квадрата
Как найти периметр прямоугольника
Периметр прямоугольника вычисляют по формуле: Р = 2 × (а + b), где а и b — стороны прямоугольника. Например, а = 3 см, b = 5 см, тогда Р = 2 × (3 + 5) = 2 × 8 = 16 см.
Периметр прямоугольника
Как найти периметр сложной фигуры с одинаковыми сторонами
Правильный многоугольник имеет равные стороны, поэтому его периметр можно вычислить по формуле: Р = n × a, где n — количество сторон многоугольника, a — длина стороны многоугольника. Например, у многоугольника шесть сторон и все они равны 5 см, тогда Р = 6 × 5 = 30 см.
Периметр правильного многоугольника
Как найти периметр сложной фигуры с разными сторонами
Чтобы найти периметр фигур со сторонами разной длины, сложите длины всех сторон: Р = а + b + c +... + N. Например, у фигуры пять сторон и они равны 3 см, 4 см, 8 см, 12 см и 15 см соответственно, тогда Р = 3 + 4 + 8 + 12 + 15 = 42 см.
Периметр фигуры с разными сторонами
Задачи на периметр фигуры
- Дан треугольник со сторонами a = 6 см, b = 8 см, c = 10 см. Найдите его периметр.
- Периметр равностороннего треугольника равен 41 см. Сторона а = 17 см, сторона b = 11 см. Найдите третью сторону.
- Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. Найдите его периметр.
- Периметр квадрата — 32 см. Вычислите длину его сторон.
- Стороны прямоугольника равны 13 см и 8 см. Найдите его периметр.
- Периметр правильного пятиугольника равен 35 см. Найдите длину его стороны.
- Периметр фигуры равен 25 см, длины трех ее сторон — 4 см, 8 см, 9 см. Найдите длину четвертой стороны.
Решение
- Если треугольник не имеет равных сторон, то находим его периметр по формуле P = а + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 см. Ответ: 24 см.
- Чтобы найти сторону, используем формулу периметра и получаем уравнение c = P — (а + b) = 41 — (17 + 11) = 41 — 28 = 13 см. Ответ: 13 см.
- По формуле вычисляем периметр равностороннего треугольника: Р = 3а = 3 × 6 = 18 см. Ответ: 18 см.
- По формуле Р = 4а получается, что а = Р/4 = 32/4 = 8 см. Ответ: 8 см.
- Периметр прямоугольника вычисляется по формуле Р = 2 (а + b) = 2 × (13 + 8) = 2 × 21 = 42 см. Ответ: 42 см.
- Чтобы найти сторону пятиугольника, используем общую формулу, а = Р/n = 35/5 = 7 см. Ответ: 7 см.
- Длина четвертой стороны вычисляется по формуле d = Р — (а + b + c) = 25 — (4 + 8 + 9) = 25 — 21 = 4 см. Ответ: 4 см.
Комментарии экспертов
Знания о том, как найти периметр фигуры, пригодятся в жизни во время строительства и ремонта. Разобраться в теме ученикам помогают задачи с практическим содержанием: найти длину забора на участке, как посчитать, сколько потолочного плинтуса нужно для ремонта, рассчитать длину опалубки для фундамента здания.
Существуют интересные задачки, где нужно вычислить периметр по клеткам. Например, на листе клетчатой бумаги нарисована какая-то необычная, зигзагообразная фигура без четких правильных форм. Ученик считает каждую клетку, чтобы найти правильный ответ. Такие головоломки развивают внимательность и пространственное мышление.
